[수학] 게임이론

경제주체가 상대편의 대처행동을 고려하면서 자기의 이익을 효과적으로 달성하기 위해 수단을 하리적으로 선택하는 행동을 수학적으로 분석하는 이론이다. 한집단 특히 기업에 있어서 어떤 행동의 결과가 게임에서와 같이 참여자 자신의 행동에 의해서만 결정되는 것이 아니고 동시에 다른 참여자의 행동에 의해서도 결정되는 상황하에서, 자기 자신에 최대의 이익이 되도록 행동하는 것을 분석하는 수리적 접근법이다.

게임이론이란 상충적이고 경쟁적인 조건에서의 경쟁자간의 경쟁상태를 모형화하여 참여자의 행동을 분석함으로써 최적전략을 선택하는 것을 이론화하려는 것이다. 게임이론은 1944년 J.폰 노이만과 O.모르겐슈테른의 공저 <<게임이론과 경제활동 Theory of Games and Economic Behavior>>에서 이론적 기초가 마련되어 제 2차 세계대전 당시 잠수함 전투에 이 이론을 이용한 미국의 물리학자인  P.모스에 의해서 더욱 발전되었다.

게임이론은 주로 군사학에서 적용되어 왔으나 경제학, 경영학, 정치학, 심리학 분야 등에도 널리 적용되고 있다. 게임이론에 있어서는 게임 당사자를 경쟁자라하고, 경쟁자가 취하는 대체적 행동을 전략이라 하며, 어떤 전략을 선택했을 때 게임의 결과로서 경쟁자가 얻는 것을 이익 또는 성과라고 한다. 어떤 경쟁자가 어떤 전략을 선택하느냐에 따라 좌우되는 것이므로 각 경쟁자는 상대방이 어떤 전략을 선택하더라도 자기의 이릭을 극대화시킬 수 있는 전략을 선택하게 된다.

게임은 경쟁자의 수에 따라 2인 게임(장기, 바둑 등), 다수 게임(포커 등)으로 분류된다. 가장 많이 나타나는 게임의 형태는 zero-sum game 인데, 이는 서로 상반되는 이해를 가지는 2닌 게임의 경우 한쪽의 이익은 상대방의 손실을 가져오게 되어 두 경쟁자의 득실을 합하면 항상 zero가 된다는 것을 의미한다. 또 경쟁자가 취하는 전략의 수가 유한 개수의 경우를 유한 게임이라 하고 무한인 경우를 연속 게임이라 하는데, 유한 zero-sum game이 이론적으로 가장 널리 전개된다.

죄수의 딜레마(罪囚-, prisoner's dilemma, PD)는 게임이론의 유명한 사례로, 2명이 참가하는 비제로섬 게임의 일종이다. 이 사례는 협력을 통해 서로 이익이 되는 상황이 아닌 더욱 불리한 상황을 선택하는 문제가 발생되는 것을 보여주고 있다.


일반적인 예

상황은 다음과 같다. 두 명의 사건 용의자가 체포되어 서로 다른 취조실에서 격리되어 심문을 받으며 서로 간의 의사소통을 불가능 하다. 이들에게 자백여부에 따라 다음의 선택이 가능하다:

• 둘 중 하나가 배신하여 죄를 자백하면 자백한 사람은 즉시 풀어주고 나머지 한 명이 10년을 복역해야 한다.
• 둘 모두 서로를 배신하여 죄를 자백하면 둘 모두 5년을 복역한다.
• 둘 모두 죄를 자백하지 않으면 둘 모두 6개월을 복역한다.

구 분	죄수 B의 침묵	죄수 B의 자백
죄수 A의 침묵	죄수 A, B 각자 6개월씩 복역	죄수 A 10년 복역, 죄수 B 석방
죄수 A의 자백	죄수 A 석방, 죄수 B 10년 복역	죄수 A, B 각자 5년씩 복역

 균형

• 죄수 A 선택 : 죄수B가 침묵 할 것으로 생각되는 경우 자백을 하는 것이 유리하다. 죄수B가 자백 할 것으로 되는 경우 자백이 유리하다. 따라서 죄수A는 죄수B가 어떤 선택을 하든지 자백을 선택한다.
• 죄수 B 선택 : 죄수 A와 동일한 상황이므로, 마찬가지로 죄수 A가 어떤 선택을 하든지 자백이 유리하다.
• 균형 : 죄수 A, B 는 모두 자백을 선택하고 각각 5년씩 복역한다.

 이 게임의 죄수는 상대방의 결과는 고려하지 않고 자신의 이익만을 최대화한다는 가정 하에 움직이게 된다. 이때 언제나 협동(침묵)보다는 배신(자백)을 통해 더 많은 이익을 얻으므로 모든 참가자가 배신(자백)을 택하는 상태가 내쉬 균형이 된다.

참가자 입장에서는 상대방의 선택에 상관없이 자백을 하는 쪽이 언제나 이익이므로 합리적인 참가자라면 자백을 택한다. 결국 결과는 둘 모두 5년을 복역하는 것이고, 이는 둘 모두가 자백하지 않고 6개월을 복역하는 것보다 나쁜 결과가 된다.